分形是衡量和理解大事物如何成长的关键工具

呼吸。当你的肺部扩张时，空气中充满了5亿个小肺泡，每个小肺泡都在一个毫米的范围内。当您呼气时，这些数以百万计的微小呼吸通过越来越大的呼吸道毫不费力地融合成一个终极呼吸。

这些气道是分形的。

分形是一种数学工具，用于在每个尺度上描述具有细节的对象。像我这样的数学家和物理学家使用分形和相关概念来理解事物如何从小变大。

当我们思考我们的选择如何影响世界时，你和我在不同的尺度之间进行翻译。这种拿铁咖啡是否有助于应对气候变化?我应该在这次选举中投票吗?

这些概念工具适用于身体以及景观，自然灾害和社会。

分形无处不在

1967年，数学家Benoit Mandelbrot问道：“英国海岸有多长?”

这是一个棘手的问题。答案取决于您如何衡量它。如果你在地图上追踪轮廓，你会得到一个答案，但如果你用米尺走在海岸线上，结果就大不相同了。任何试图从地图上估算崎岖远足径长度的人都知道大尺寸照片的背叛。

这是因为肺，英国海岸线和远足径都有分形：它们的长度，分支数量或其他数量取决于您用来衡量它们的规模或分辨率。

海岸线也是自相似的 - 它是由较小的自身副本组成的。蕨类植物的叶子，树木，蜗牛壳，风景，山脉和河流网络的轮廓看起来都像是自己的小版本。

这就是为什么当你在观看风景的航拍照片时，通常很难判断比例尺是50公里还是500米。

你的肺部是自相似的，因为身体以精确的比例精细地校准每个分支，使每个分支成为前一个分支的较小复制品。这种模块化设计使肺部在任何尺寸都有效。想想一个孩子和一个成年人，或一只老鼠，一只鲸鱼。小型和大型之间的唯一区别在于气道分支的次数。

自相似性和分形性出现在艺术和建筑中，罗马渡槽拱门内的拱门和镜像森林树冠的哥特式教堂的尖顶。甚至中国古代书法家怀素和颜真卿也对 722年漏水房屋中的夏季云层，墙体裂缝和水渍造成了分裂。

尺度不变性

自相似对象具有尺度不变性。换句话说，无论他们有多大，例如肺部的效率，一些财产都会成立。

实际上，尺度不变性通过说明不变化的内容来描述尺度之间的变化。

莱昂纳多达芬奇观察到，随着树枝的分枝，所有树枝的总横截面积得以保留。换句话说，从树干到树枝，树枝的数量和它们的直径随着每个分枝而变化，但是捆绑在一起的所有树枝的总厚度保持不变。

达芬奇的观察意味着尺度不变性：对于某个半径的每个分支，有四个下游分支，半径为半径。

地震频率具有类似的尺度不变性，这在20世纪40年代被观察到。人们首先想到的是里斯本1755年，旧金山1989年 - 但每天都有许多小地震发生在加利福尼亚州。古腾堡 - 里特尔定律说，地震频率取决于地震的大小。答案非常简单。十倍大的地震发生率大约是十分之一。

社会与权力法

一位19世纪的经济学家维利弗雷多·帕累托(Vilifredo Pareto) - 在80/20规则的商学院中出名- 观察到有一定财富的家庭数量与他们的财富成反比，提高到一些指数。帕累托测量了不同年份和不同国家的指数，发现它通常在1.5左右。

帕累托的财富分配后来被称为幂律，表面上是因为指数或“权力”。

任何自相似的东西都有相应的幂律。在4月的一篇论文中，我和我的同事描述了肺，血管和树木的相应幂律。它与Pareto的幂律不同，只是考虑了分支之间的特定比率。

然后，命运的大小类似于树枝或血管的大小 - 一些树干或大树枝和指数更小的树枝。

帕累托认为他将财富分配为一种自然法则，但许多不同的社会组织模式产生了帕累托分布，而社会在财富不平等方面确实存在差异。帕累托的指数越高，社会就越平等。

从了解人类如何由微小细胞组成到我们如何影响地球，自相似性，分形和尺度不变性通常有助于从一个组织层面转换到另一个层次。对话